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注重“过程”中的教育
浏览次数: 2929 发布时间:2012-5-14
  
作者:海燕
来源:人民教育2012年7月

      这次《义务教育数学课程标准》(以下简称《标准》)修订,坚持了教育改革的大方向。在这一基础上,我们做了几个方面的修订:第一,使《标准》更加准确、规范、明了、全面,更适合教材编写、教师教学、学习评价等;第二,内容上做了适当调整;第三,就是强调了要处理好以下几个关系:过程和结果的关系;学生自主学习和教师讲授的关系;合情推理和演绎推理的关系;生活情境和知识系统性的关系。

      这几个关系非常重要。强调要注重过程了,但是过程和结果之间的关系必须处理好。再有,现在强调学生自主学习,但是它和教师讲授之间是什么关系呢?我们去听了很多课。听了之后有些人回来反映:上课是一锅粥,下了课还是一锅粥。什么意思呢?上课组织学生讨论,讨论很热烈,完了之后,老师没有很好地归纳整理,下课之后学生不明白的问题还是不明白。所以要处理好学生自主学习和教师讲授的关系。还有合情推理和演绎推理的关系。如果我们只是讲了一个描述性的事情,那么证明在这里还能起到什么作用呢?这个主要针对初中。还有一个,你强调从生活情境引入,挺好,但是数学自身的系统性怎么办呢?这些关系应该处理好。所以我们很认真地把握这几个关系来修订课程标准。

     从总体上讲,十年课改是积极的,也是富有成效的。但是课改的开始阶段是由上而下的,是理论指导实践的。这些理论在中国实践工程中碰到一些问题,引发大家广泛的思考。因此,十年课程改革是一个实践的过程,也是一个思考的过程,促使大家对数学教育、数学课程以及改革实践产生了一些新的认识。我想,下面几个问题是重要的。

更加关注学生的能力与素养

      第一、对《标准》和《教学大纲》(以下简称《大纲》)区别的认识提高了。这次课程改革一个核心的变化是把《大纲》变成了《标准》。这是一个关键性的问题。过去叫《大纲》,现在为什么叫《标准》了呢?两者之间有什么差别呢?1999年我国完成了最后一个《大纲》的制定,当时我是审定组组长。我回想了一下,那时我特别关注的就两个问题,其一,教什么的问题;其二,掌握到什么程度的问题。考试也是围绕这两件事情来进行的。原来的《大纲》必然地产生了中国数学教育的最大特色,就是“双基”(基础知识和基本技能),要求是基础知识扎实,基本技能熟练,这个我们国家做的非常好。像上次上海参加的PISA测验,让国外都很吃惊。不管怎么说,“双基”对中国数学教育的贡献是巨大的。这是不可否认的,但是还应该加些什么东西呢?

      我们来看一下《大纲》是怎么一回事。《大纲》是工业化时代为培养专门人才服务的。因此它涉及的内容就是未来一个专门职业对知识技能的要求。在这个意义上,《大纲》的教育理念是“只是为本”——教了多少知识,教到什么程度。知识是什么呢?1998年我提出“知识在本质上是一种结果。可以是经验的结果,可以是思维的结果”。所以以知识为本的教育在本质上是结果性的教育。我们教了一些结果,我们没教智慧。智慧不是结果。从结果怎么能看出一个人的智慧呢?智慧是在过程之中的东西。大家都不知道怎么办了,他出个主意,这个主意好——真聪明!有智慧!在做题的过程中,你看这个孩子真聪明,有智慧。或者做实验,大家都不知道实验该怎么做,他设计的实验很巧,有智慧!智慧是表现在过程之中的。而表现在过程中的东西必须通过过程来教育。所以我们要注重过程中的教育,我们要培养智慧。

      现代社会,是后工业时代,或者叫信息时代,我们不强调培养工匠了,要“以人为本”,因为我们无法在学生读书的阶段就决定这个孩子未来从事什么职业。因此要培养孩子们的能力,发展他们的潜能,这是教育的根本改变。对教育强调的是以人的发展为本,不再以知识为本。2010年公布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》,提出“育人为本”。育人为本的核心就是以人的发展为本,特别强调了我们未来培养的学生要有社会责任感,有创新精神,有实践能力。因此我们不仅要关注学生学了多少知识,掌握了多少技能,还要关注学生能不能成为未来社会的合格公民。教育的根本目的改变了。在知识经济时代,知识总量增加非常迅速,而且传播手法日趋多样。很多学生获得的知识,远远超过了老师在课堂上讲授的,甚至远远超过了教科书的内容,在这种情况下,要进行什么样的教育呢?所以要根本地改变我们的教育。在这样的背景下,《大纲》就变成了《标准》。

      那么《标准》和《大纲》有什么区别呢?如果说《大纲》更加关注孩子们知识和技能的掌握程度,那么《标准》更加重视学生能力的培养和素养的提高。一个人可能将来从事的职业与数学没有直接的关系,但是他为什么还要学习数学呢?他要养成一个数学的素养,这对他一生都是有好处的。我们的基础教育要为学生未来的发展奠基。经过这十年的实践,我想大多数教师在这个理念上都有所改变。但是如果我们曾经的改变是形式上的话,从现在开始,我们要从形式走向实质。

      我对我们现在的中小学数学教材总的来说是不满意的。集中表现在两个地方。第一个,概念的叙述和几十年前完全一样,没有新东西。还有,法则、运算的叙述也和以前完全一样,没有新东西。还是以一个结果的形式呈现,还是让孩子们来背,来记,没有根本性的改变。什么是根本性的改变?你脑袋里一直要想,如何引导孩子们去思考,如何培养孩子们的数学素养。基于此,《标准》在《大纲》的基础上增加了基本思想和基本活动经验。一个学科,你学过之后,对这个学科承载的基本思想不知道的话,等于没学。还有,特别是对数学,思维经验是很重要的。因此,希望孩子们在学习数学的过程中,除了掌握必要的知识和技能之外,还能感悟数学的基本思想,积累数学思维活动和实践活动的经验。这是《标准》提出的很重要的目的。

      从“双基”到“四基”有两个理由,首先是教育理念的表现。对数学思想的感悟和经验的积累,这是非常隐性的东西。老师可能会认为,这个东西你教了还是没教,怎么判断呢?思想怎么体现?经验有没有积累,怎么判断呢?关于这件事后面我会举几个例子。但是我们首先要明白,思想的感悟和经验的积累在很大程度上会改变一个人的思维方法。而一个人的思维方法几乎在小学阶段就基本定了。“育人为本”的理念在数学教学中最好的体现就是从“双基”到“四基”。其次是培养创新型人才的要求。是不是创新型人才不仅取决于这个人掌握的知识有多少,在很大程度上,取决于这个人的思维方法。而这个思维方法,需要对学科思想方法的感悟,需要积累学科思维活动的经验。

基本思想与基本经验的积累必须靠感悟

      基本活动经验和基本思想,绝对是在中国这十年课改实践工程中抽象出来的东西。这是我们自己的东西。活动经验,我想主要是思维的经验和实践的经验,不是解题的经验,当然也包括解题的经验、分析问题的经验、解决问题的经验。主要我想强调经验的积累,最终是要培养孩子们一个数学的直观。学科直观是很重要的,数学的所有结果是看出来的,不是证出来的。而要直观,全依赖于思维经验的积累。经验积累我今天不谈了,主要谈一下基本思想。基本思想很多,有数形结合、等量替换等,那么最核心的思想是什么呢?就是学完数学以后,很多数学知识你都忘了之后,你还能留下的东西。这些素养是什么呢?我想大概有两个标准。一个是,数学的产生和发展一直依赖的思想是什么;一个是,学过数学的人和没学过数学的人有什么差异。我觉得这能看出数学的基本思想。我提出一个看法,数学思想主要有三个:一个是抽象,就是把与数学有关的东西引入数学的内部,学过数学的人抽象能力比较强;一个是推理,学过数学的人推理能力比较强;还有一个是模型,学过数学的人应用能力比较强,除了直接计算以外,数学的应用主要是建立模型。

      思想的感悟和经验的积累是隐性的东西,光靠老师讲是不行的,必须自己感悟,是悟出来的东西,不是听出来的东西。因此我们要组织一些教学活动,让学生参与讨论,这是形式,不是目的,这个形式是为了让孩子们自己想问题,为了让他跟同学们讨论,最后逐渐积累一种思维的方法和经验。会想问题是一种经验的积累,不是教会的。所以,学生活动结束之后,老师必须有一个总结。这个总结对老师来说非常难,很多老师总结不出来。让学生谈一个东西,不仅仅谈结果,要谈得到这个结果的思维过程。老师对一个学生答对答错的判断,不仅仅要看结果是对是错,还要看他的思维过程是不是有道理。只要思维过程有道理,可能开始的出发点有错误,但整个思维过程是合乎逻辑的,那也是好的。老师在总结时要把握学生的思维过程,重在教会他们思考问题。几个问题想错了,不要紧,逐渐地会想问题,这是最核心的事情。这是一种经验的积累。我们中国人总是发明创造不够,就是因为我们在小学阶段就把孩子们教死了。其实孩子们都是挺聪明的。所以我希望从现在开始,教我们的孩子越来越聪明,而不是越来越傻。越来越聪明就是要让他自己想。你鼓励他想,教会他想,在过程中教育。这是很重要的,这是一个根本的转变,对我们老师是巨大的考验。

      2009年,某地组织教学观摩,结束后让我点评,我说:“你们这些课光重视老师怎么讲,怎么讲的精彩,其实老师讲课拙一点不要紧,老师讲课笨一点不要紧,能启发学生思考是最重要的。启发学生思考最好的办法就是和学生一起思考,一步一步地引导学生来思考这个问题。你讲得天花乱坠,孩子们像听故事一样,听完了什么也没留下,这有什么用呢?”所以我们要下一点笨功夫,教孩子们想。这个东西不是马上就能见效的,但是小学6年之后,必然见效。到了六年级,你看孩子们的眼神都不一样,他活,他自信,他会提问题。所以我希望老师们能和校长说一下,别一年一考核,一年之后看不出结果,6年之后再来看,时间长一点,这样才能真正地教出一个人。教研室可以组织老师们讨论,怎么把这一类的课上好。

      大概四五年前,东北师大组织教师培训,我连续给老师们提了10个问题。比如,为什么要先乘除后加减?你们是怎么讲的?他们说规定。第二个问题,回答还是规定。第三个还是规定。那就不行了。一开始规定一两个还行,但是规定多了,孩子都蒙了,不知道怎么回事了。特别是,光讲规定的教学,完全是一种结果的教学。小学数学中的所有规定都是有道理的,是符合人的常理的。因此,你只要稍微改变一下,就能让孩子们学会思考问题。举例子是比较重要的。讲课讲不明白的时候,最好的方法是举例说明。对一个知识是不是理解了呢,最好的办法也是举例说明。老师的脑袋里得有大量的例子,随时都能举例子。

     比如,为什么要先乘除后加减?举例说明。操场上原来有3个同学,又走来一队同学,这队同学是2个人一排,共4排,问有多少学生?我们老师讲这样的问题时,一般是直接列式子,这个不好。应该把理给讲出来。最起码这句话一定要讲出来——操场上的同学数=原有同学数+后来同学数。引导孩子从头想问题。养成从头想问题的习惯,他以后就能发现问题了。问题一般都是从头开始发现的,中途发现问题的情况比较少。从头想问题之后,孩子就很少会错了。你看,他脑子里有“操场上的同学数=原有同学数+后来同学数”这个概念之后,那么自然原来同学有3个,后来同学有8个,2×4=8,所以是3+8=11,这样的话就知道了应该先乘除后加减,为什么呢?因为2×4表示的是后来的同学。因此在小学数学里,先乘除后加减说的是两件事:2×4是一个故事,3本身是一个故事,和是两个故事相加得到的东西。因此在中国古代这样的问题都是分步做的,我们现在为了省事才放到一块儿。所以,我们现在非常强调从头想问题。问题要有一个转换过程,学会先把现实中的问题通过语言抽象,抽象成一个科学的东西,然后在语言抽象的基础上进行符号抽象,抽象成一个数学的东西,这个过程对小孩子是非常重要的。现在举的这个例子很简单,到问题更难一些的时候,你就会更加觉得这个东西重要了。

      与此相对应,过去在《大纲》里谈到两个能力,就是分析问题的能力和解决问题的能力,这次在《标准》中又增加了发现问题的能力和提出问题的能力,这样就从“两能”拓展到了“四能”。

      这样,由《大纲》到《标准》有以下几个重要变化:理念的基础是从“知识为本”到“育人为本”;具体的目标要求是从“双基”到“四基”;内容和方法,过去是以结果的形式,现在结果要加工程。这个内容包括教材的呈现和老师讲课的内容。评价由过去单纯的知识技能的评价,加上过程性的评价,加上感情、态度和价值观的评价,变成了三维评价。这几个变化非常重要,老师们可能没有很多时间去详细地看《标准》,但这几个关键性的变化要了然于心。

讲课千万别反复讲,要抓住数学的本质

      第二,就是对数学本身的认识提高了。数学的定义非常多,五花八门,但数学从本质上讲,只研究数量关系和图形关系。因此数学是关于数量和图形关系的一门科学,这个定义应该是没有问题的。那么抽象在这里面起什么作用呢?抽象就是把生活中的与数量、图形有关的东西抽象成概念,并用符号表达。比如抽象出自然数,并用十个数字和进位法则表达;抽象出点线面,并用适当的字母进行表达。这样的话,数学所要研究的对象就有了。数学研究的对象是从哪儿来的呢?是从生活中抽象出来的。但是抽象出对象不是根本,主要是抽象出这些概念之间的关系。概念抽象重要,但是关系更重要。比如数中最重要的关系是大小关系,这个关系是从数量里的多少关系抽象出来的。在数量里,3个苹果比2个苹果多,这就抽象出3比2大。点、线、面也是从现实图形中抽象出来的。因此,数学研究的不是某一个具体的存在,不是具体的2头牛,3匹马,而是抽象的存在2和3。数是对数量的抽象,数大小关系是对数量多少关系的抽象。这个抽象是用语言能够表达出来的。你念一、二、三、四、五、六、七、八、九,你怎么说都不要紧,但是你用符号来表征出来时,这里就有一个质的变化。我们小学数学老师要把握这一条,这个事情很重要。

      有些概念性的东西需要专门的理解。比如到了符号表达,一般会比语言表达更难一点。比如,数的符号表达只要抓住两个事情就行。第一,知道0~9这几个数字符号;第二,知道数位。知道这两件事,就能把所有的数都表示出来。这是一件很了不起的事情。只用有限的符号就能把无穷无尽的数都表达出来,这是人们通过几千年的积累才总结出来的。在读数时只需要知道数字和位数就行。

      我听过一节课,整节课都在讲千以内数的读法,末尾有0怎么办,中间有0怎么办,那堂课讲得我非常生气,因为孩子们上课前是兴致勃勃的,听完这节课是垂头丧气的。后来我来讲,我说:你就记住啊:2350,这个2在千位,你就读2千,百位上是3,你就读3百,十位上是5,就读5十,个位上是0,就读0个。连起来,就读2千3百5十0个。2002就读2千0百0十2个。不错,你要嫌麻烦就读2千零2,不嫌麻烦就读2千0百0十2个,没有错。这堂课就讲完了嘛。讲得简单点,那些不重要的地方别花工夫。孩子小,一节课别讲太多,多了孩子弄不清什么重要什么不重要,他以为你讲的都重要。我们在修订《标准》时甚至都想,一节课,无论如何,10分钟就可以讲完,顶多15分钟。老师一定要精而又精地想好这10分钟,在孩子精力最集中的时候把内容讲完。剩下的时间,启发他思考,讨论,玩都行。讲课千万别反复讲。还有,孩子们竖式怎么写都行,错了也不要紧,结果对了就行。不要在旁枝末节上提很多要求。旁枝末节上要求多了,他就抓不住本质了。

      再有,过去教材认识一万这个数,都写9000+1000=10000,我们东北师大附小的课本是说10个1000等于10000。10个1000怎么是10000呢?10个1000是十千啊!应当是“万”这个数位是十个“千”,这个“千”也是数位,因为我们用的是十进位。而一万是一个数,这个数是怎么产生的呢?应该是万以内的数最大是9999,又多1个怎么办呢?我们祖先又创造了一个词,叫“万”。10000是表示比9999多1的数。数就是这么产生的。数是一个一个多起来的。这个思想,孩子们应该知道。欧洲的祖先就没有创造出“万”这个词,因此他就说“十千”——ten thousands。这些地方看起来是小事情,但这些小事情体现出你有没有把握住数学的本质。没有把握住数学的本质,老师就不好教。他就不敢用10分钟把课讲完。所以我们的教材也好,未来的教师培训也好,应当走向实质,应当抓住本质,用简单的几句话就讲完它,然后领着学生去思考,去做一些事情。而且只有把握了本质,让学生讨论之后,你才能说学生想得对不对。

数学是很讲“道理”的学科

      再说一下推理。先讲逻辑推理。数学的所有结论都是用命题的形式表述的。数学定理、法则、定义都是一种命题。命题是一种话语,是可以进行“是否”判断的话语。你可以说这个命题是对还是不对。推理是什么呢?推理是从一个命题判断到另一个命题判断之间的思维过程。如果命题的内涵之间可以有一条主线串起来,这个思维就是有逻辑的。如果串不起来,这个思维就是没有逻辑的。如果我们的老师能把握住什么叫逻辑推理的话,他讲话就有信心了,而且就能用很简单的话把数学课讲清楚了。

      逻辑推理有两种形式。命题内涵由小到大的叫归纳推理,包括我们常说的类比推理。就是用曾经经验过的东西推测未曾经验过的东西。所有的猜想都是这么得到的。比如最典型的,哥德巴赫猜想,从一些偶数可以表示为两个素数之和。比如4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=3+7‥‥‥这个结果人们现在已经验证到了1亿,都是对的。因此人们猜想,是不是任意的偶数都能表示为两个素数之和呢?就是用曾经经验的东西去推断未曾经验的东西。这种教学我们以前没有教过,但是这种教学是发现真理的根本。刚才我说了,“双基”还缺什么?“双基”都是知识,没有教智慧,没有教从条件预测结果的能力,也没有教从结果探究成因的能力。这种能力靠的是什么?考的是归纳推理。归纳推理得到的结论不一定是对的,它的结论是或然成立,可能是对的。只有靠可能是对的这样一种推理,才有可能发现一种新的东西,肯定都是对的,还能发现什么新东西呢?

      与此相关的我再讲一个术与理的问题。中美教学分数加法有区别,各有优缺点。比如中国教1/4+2/3=(1×3+2×4)/4×3=(8+3)/12=11/12,但是这个教法是教术,没教理。分数的加法,分子为什么这么乘呢?这里有个很重要的事情,过去老师在教学中可能没有注意到,分数是有单位的,单位就是几分之一,1/3是一个单位,就是把一个东西分了3份,中间那1份是1/3。2/3是2个1/3相加,表示的是2个单位。两个分数相加,就应该要变成相同的分数单位才能相加。1/4和2/3共同的分数单位是谁呢?共同变成12份就能相加了。美国是怎么教的?先教乘上“1”,分数不变,因此,1/4(3/3)+2/3(4/4)=3/12+8/12=11/12。美国这么教有一个毛病,算得慢,中国这么教有一个好处,算得快。但美国这么教多少讲了点道理,而中国这么教讲的是算术。光教术不行,还得教理,这两个要结合着教。而且在教材里,分子分母同时扩大相同倍数,值不变,这件事得放在前面讲,而不是到后面来讲。归纳这个事情很重要。

      推理还有演绎推理。归纳推理是从小到大,而演绎推理是从大到小。这个推理是绝对正确的。例如,凡人都有死,苏格拉底是人,苏格拉底有死。这个推理一点错也没有。反过来就不一定对了。到现在为止,我们教材讲的都是这样的推理。这种推理当然是必要的,但这种推理不能用于发现新命题。

      来看一个分数除法的例子。有鹅4只,是鸭子的1/3,问鸭子有几只?这个课的教学目的是4÷1/3=4×3=12。我听过两个老师讲这堂课。我问老师的第一个问题是:为什么这个问题要用除法计算?讲课时给学生怎么讲为什么这个题用除法?当然你可以和学生说这样的题必须用除法计算,这样学生就记住了。但是为什么用除法计算呢?可以举例说明。你可以先把题目稍微改一下,有鹅4只,是鸭子的2倍,鸭子有几只?是不是用除法?因此鹅是鸭子的1/3,也可以理解为鹅是鸭子的1/3倍,这是一个比例关系,因此要用除法。先得把这个问题解决,然后来讲除分数为什么变成乘以它的倒数了。首先得破题。什么叫破题?就是解释“是鸭子的1/3”是什么意思,不是吧鸭子拔了毛了,一切分成3份,得了1/3,而是比例关系:3只鸭子1只鹅,6只鸭子2只鹅,9只鸭子3只鹅,在破题的过程中他明白了结果是12,。然后怎么教呢?我们老师脑袋里有很多这样的东西:比如减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算……这些话是什么意思,必须能用例子来说明。不能用例子来说就表示你没有明白这几句话。比如除法是乘法的逆运算是什么意思呢?我们要做4÷1/3,原来的意思是?×1/3=4,逆运算就是4÷1/3=?。因此从除法可以得到一个等式:?×1/3=4,等式两边同乘3,等式保持不变,?×1/3×3=4×3,所以?=4×3。因为?=?,等量的等量相等,所以4÷1/3=4×3。这样算出来的只是一个个案,符号表达才具有一般性,这就是a÷1/b=a×b。因此我们讲符号是很重要的,符号和数一样可以进行运算,而且它表达的东西具有一般性,这个道理老师必须知道,也必须让我们的学生知道。这次我们在课标修订时提出一些核心概念,希望老师能够把握这些。数学在概念和符号的基础上,从条件出发,通过归纳推理推断结论,通过演绎推理验证通过推断得到的结论的正确性,这样的论证形式是有逻辑的,因此数学具有严谨性。数学为什么是科学,为什么给人感觉严谨呢,就是它得到结论的过程是有逻辑的,验证结论的过程也是有逻辑的。数学的一般性是由抽象得到的,数学的严谨性是由逻辑推理得到的。数学的一般性和严谨性,使它具有广泛的应用性。

                                             小学应用题只有两个模型

      除此之外,数学里边还有一个非常重要的--数学模型。用数学的语言表述概念、描述规律,既简洁又准确,这就是人们通常所说的数学模型。数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁。数学得到的一些结果要应用于现实世界,主要是通过数学模型。有个学生跟我说,小学数学的应用题太啰唆了,有十几个类型。我说就两个,哪两个呢?一个是总量=部分+部分;一个是距离=速度×时间,或者总价=数量×单价,这两个本质是一样的。只有这两个模型,其他的模型都是在这两个基础上变化的,对于这一个,不是在部分那里下点功夫,就是在总量那儿下点工夫;对于第二个,要不在速度那儿说些故事,要不在时间那儿说些故事。但本质还是那两个模型。过去还有两个模型,现在没有了。一个注水的问题,一头进水一头出水;还有一个是植树问题。植树问题现在在社会调查中应用的很广泛,未来课标可能要加进去。但是这次课标不做大的修订,所以就没有把它加进去。

统计学的要义是通过数据进行推断

      再讲一个统计的例子。这个问题也是学生问我的。她说现在老师教统计时出现一个问题:掷硬币,老师说出现正面向上的概率是1/2,但是学生怎么掷都不是1/2,怎么办呢?我说你相信什么呢?相信学生掷出来的东西还是相信老师所说的那个1/2?教材本身有问题,学生很难理解。比如教材上有这么个问题:一枚硬币连续掷5次出现正面朝上,问第6次正面朝上的概率有多大?答案是1/2.这是犯傻的答案。连续5次正面朝上,第6次正面朝上的概率肯定要比1/2要大。为什么?那硬币可能不均匀。你得自然而然地想问题,别想当然。于是我和那个学生说,我来编个题:袋子里有5个球,4个白球1个红球。如果从数学的角度来讲,得让学生验证摸白球的概率是4/5,摸红球的概率是1/5.别那么讲。要从统计的角度讲。别告诉孩子们袋子里球的情况。让孩子摸,摸完以后,提这些问题:1.哪种颜色的球多?因为白球比红球多得多,一般情况下学生摸球的结果都是白球多。这不是很好吗?孩子在不知道袋子里有多少球,也不知道什么颜色的情况下预测到白球比较多,这不就知道一些事情了吗?通过数据来推一些未知的事情,这就是统计。问题2:摸到白球的可能性有多大?因为摸球是随机的,正好答出来是4/5的可能性不大,但是4/5=8/10,因此答出来是7/10和9/10之间的可能性比较大。这个估计和摸球的次数有关。一般来说,如果希望有80%的可能答案在这两个数之间,那么需要摸20次以上。90%的可能性,就得摸60次以上。所以,统计要讲的和数学不完全一样。不是提出一个假如,然后来验证假说对不对,而是通过数据分析,虽然是随机的东西,但是次数多了,它有一个规律,通过这个规律来推断产生这些数据的背景信息,这就是统计学的要义。

 
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